Графы и топология

Читается: 3-4 модуль 3 курса 
Пререквизиты: Основные понятия математики; Вычислимость и сложность; Логика
Трудоемкость: 5 кредитов

80 аудиторных часов:

• 40 часов лекций;
• 40 часов семинаров.

Формы контроля:

• экзамен;
• 1 контрольная работа;
• 2 домашних задания.

Преподаватели:

Васильев Виктор Анатольевич 
Базовая кафедра Математического института им. В.А. Стеклова РАН: профессор

О курсе:

Освоение геометрических и топологических концепций, используемых в естествознании и в математических моделях социальных процессов.

Объекты, которым посвящен курс - геометрической и топологической природы. Они очень универсальны, и могут описывать совершенно разные объекты и явления реальной жизни. Графы используются в большинстве математических моделей, описывающих дискретные структуры с различными связями. Фракталы полезны при описании динамических систем, объектов природы со сложной геометрией (волны на воде, береговая линия, лиственный покров деревьев), явлений с хаотическими свойствами (колебания курсов валют и цен акций, статистика посещений банка или музея). Курс не концентрируется на конкретной прикладной области, в которой графы и фракталы служат языком математического описания. Вместо этого, создается общая теоретическая база, необходимая или полезная для всех практических приложений.

Содержание курса:

1. Графы. Примеры из практики. Таблицы смежности и таблицы инцидентности.
2. Связные графы. Порождающее дерево. Эйлеровы пути и гамильтоновы циклы. Мосты Кенигсберга.
3. Теорема вложения Куратовского. Планарные графы, эйлерова характеристика.
4. Двудольные графы. Теорема Холла.
5. Метрические пространства: примеры. Гомеоморфизм.
6. Свойства метрических пространств: компактность, связность.
7. Канторово множество. Кривые Пеано.
8. Ковер Серпинского, треугольник Серпинского. Фрактальная размерность.
9. Множества Жюлиа, предельные множества итерированных систем отображений.
10. Множество Мандельброта.

Литература:

1. Оре О. Теория графов. — 2-е изд. — М.: Наука, 1980.
2. Виро О. Я., Иванов О. А., Харламов В. М., Нецветаев Н. Ю. Элементарная топология. — М: МЦНМО, 2007
3. Пайтген Х.-О., Рихтер П. Х. Красота фракталов. — М.: «Мир», 1993.
   
   
   

Материалы курса: