Графы и топология
Читается: 3-4 модуль 3 курса
Пререквизиты: Основные понятия математики; Вычислимость и сложность; Логика
Трудоемкость: 5 кредитов
80 аудиторных часов:
- 40 часов лекций;
- 40 часов семинаров.
Формы контроля:
- экзамен;
- 1 контрольная работа;
- 2 домашних задания.
Преподаватели:
Ландо Сергей Константинович
Профессор факультета математики
О курсе:
Освоение геометрических и топологических концепций, используемых в естествознании и в математических моделях социальных процессов.
Объекты, которым посвящен курс - геометрической и топологической природы. Они очень универсальны, и могут описывать совершенно разные объекты и явления реальной жизни. Графы используются в большинстве математических моделей, описывающих дискретные структуры с различными связями. Фракталы полезны при описании динамических систем, объектов природы со сложной геометрией (волны на воде, береговая линия, лиственный покров деревьев), явлений с хаотическими свойствами (колебания курсов валют и цен акций, статистика посещений банка или музея). Курс не концентрируется на конкретной прикладной области, в которой графы и фракталы служат языком математического описания. Вместо этого, создается общая теоретическая база, необходимая или полезная для всех практических приложений.
Содержание курса:
- Графы. Примеры из практики. Таблицы смежности и таблицы инцидентности.
- Связные графы. Порождающее дерево. Эйлеровы пути и гамильтоновы циклы. Мосты Кенигсберга.
- Теорема вложения Куратовского. Планарные графы, эйлерова характеристика.
- Двудольные графы. Теорема Холла.
- Метрические пространства: примеры. Гомеоморфизм.
- Свойства метрических пространств: компактность, связность.
- Канторово множество. Кривые Пеано.
- Ковер Серпинского, треугольник Серпинского. Фрактальная размерность.
- Множества Жюлиа, предельные множества итерированных систем отображений.
- Множество Мандельброта.
Литература:
- Оре О. Теория графов. — 2-е изд. — М.: Наука, 1980.
- Виро О. Я., Иванов О. А., Харламов В. М., Нецветаев Н. Ю. Элементарная топология. — М: МЦНМО, 2007
- Пайтген Х.-О., Рихтер П. Х. Красота фракталов. — М.: «Мир», 1993.
Учебные материалы:
Результаты контрольной 01 марта 2018 г.