Прикладная математика. Искусство и ремесло вычислений

«Наука должна быть веселая, увлекательная и простая»

Петр Леонидович Капица

Разработчик майнора — Департамент математики.

На нашем майноре «Прикладная математика. Искусство и ремесло вычислений» мы будем учить, как применять математические методы к различным прикладным задачам: в физике, химии, биологии, геофизике, экономике и т.д. Собственно, математика и возникла из необходимости и желания решать такие задачи. Мы используем математический аппарат, который вы получили на 1 курсе, и будем его развивать дальше. Будет рассмотрено много конкретных моделей.

 Как распространяется тепло по сковородке, как волна на струне или мембране барабана отражается от границы, как вибрирует стержень после удара (поперечного или продольного) как бежит волна вдоль канала и импульс по нервному волокну, как растет коралл, как меняется возрастной состав популяции, кто победит в борьбе двух популяций, сколько времени будет продолжаться игра или случайное блуждание по решетке, как вычислить справедливую цену на опционы, как меняется скорость химической реакции, какую форму принимает тяжелая цепь, подвешенная за концы на двух башнях, как выбрать оптимальную траекторию на поле с переменным качеством грунта, когда разгонять поезд, а когда тормозить, почему мы видим Солнце уже после того, как оно зашло за горизонт, - про эти и многие другие модели будем рассказывать.

Мы покажем, как эти модели получаются из наблюдений и логическими построениями, и какие выводы, качественные и количественные, можно получить с помощью математического аппарата и применения компьютеров. Речь о теории функций комплексного переменного, теориях дифференциальных и разностных уравнений, обыкновенных и в частных производных, линейных и нелинейных, о вариационном исчислении и об оптимальном управлении, когда ищутся наилучшие траектории, стратегии, кривые и функции. Кроме того, мы расскажем, как интерполировать функции, известные лишь на дискретной сетке точек на прямой или в пространстве, на всю интересующую нас область. Важно уметь оценивать ошибки модели, и этому будет уделено особое внимание. Обсудим, как менять постановку некорректных задач.

Для работы с многомерными задачами мы обсудим основные методы линейной алгебры и вокруг нее, важные для приложений. В частности, предполагается обсудить обращение прямоугольных матриц, т.е. псевдообратные матрицы (в связи с моделью линейной регрессии), итерационные методы (в том числе в связи с моделью случайного блуждания на графе и приложениями к интернет-поиску, т.е. алгоритм PageRank), матричные разложения (например, SVD) и методы понижения размерности (применяемые в анализе данных), а также матричные нормы и основы теории возмущений (для оценки погрешности матричных вычислений). Планируется обсудить задачи интерполяции, задачи приближения и многочлены Чебышева, методы решения систем алгебраических уравнений и базисы Гребнера, экспоненту и другие функции от матриц.

Мы постоянно будем решать задачи на компьютере, доводя решение до конкретных чисел и графиков. Анализ результатов, в частности, анализ графиков решений важен на практике, когда исследователь отвечает за полученные результаты. Тех, кто программировать не умеет, мы научим, хотя предварительные знания приветствуются.

Мы надеемся, что это все пригодится, когда вы столкнетесь со своими задачами на работе.

Те, кто покажет успехи в изучении курса, смогут получить темы для курсовых работ, имеющих практическое значение.

Следующие книги, имеющие отношение к нашему курсу, можно найти в библиотеке ВШЭ:

1. В.А.Гордин. Как это посчитать? М.: МЦНМО, 2005, 280с.
2. В.А.Гордин. Математика, компьютер, прогноз погоды и другие сценарии математической физики. М., ФИЗМАТЛИТ, 733 стр. 1-е изд. 2010, 2-е изд. 2012-2013.
3. В.А.Гордин. Дифференциальные и разностные уравнения. Какие явления они описывают и как их решать. «Издательский дом ВШЭ», М., 2016. 530 стр.