Информация для студентов 2023 года набора

Максимальное количество студентов: 60

Ограничения по программе: Прикладной анализ данных и искусственный интеллект (НИУ ВШЭ - Санкт-Петербург); Компьютерные науки и анализ данных (Москва); Математика (НИУ ВШЭ - Нижний Новгород); Математика (Москва); Прикладная математика (Москва); Прикладная математика и информатика (НИУ ВШЭ - Санкт-Петербург); Прикладная математика и информатика (Москва); Прикладная математика и информатика (НИУ ВШЭ - Нижний Новгород); Прикладной анализ данных (Москва); Экономика и анализ данных (Москва); Экономика и анализ данных (Москва); Вычислительные социальные науки (Москва); Компьютерные науки и технологии (НИУ ВШЭ - Нижний Новгород).
Микроквалификация: "Разработчик вычислительных алгоритмов и программного обеспечения для естественных и технических наук" при успешной сдаче итогового испытания

Дисциплины:
1 семестр 2024/2025
Дополнительные главы математического анализа
Алгебраические уравнения встречаются на каждом шагу. Примеров рассмотрим много. Но не каждое такое уравнение имеет вещественное решение, например, x^2+1=0. А вот комплексных решений у уравнения P_n(x)=0 c учетом их возможной кратности существует ровно n, где n – степень уравнения. Это утверждает Основная теорема алгебры. Если n?4, то корни находятся по известным формулам, которые используют четыре арифметических действия и извлечение корней. Для уравнений более высокой степени такой общей формулы не существует и не может существовать, - это следует из теории Эвариста Галуа. Зато можно эти корни найти с любой точностью на компьютере, - постепенно к ним приближаясь. Простейший вариант – решение квадратного уравнения методом Герона Александрийского (метод, кстати, старше самого Герона не менее, чем на пять веков). Алгебраическими уравнениями дело не ограничится, будем решать методом Ньютона уравнения более общего вида – уметь бы вычислять функцию и ее первую производную, а остальное быстро сделает компьютер. Если начать приближаться к решению с небольшого расстояния, то очень быстро погрешность станет исключительно маленькой. А вот если издалека – тут возможны различные эффекты. Например, исключительной красоты фракталы – на компьютере их получим сами. Затем научимся решать и системы уравнений с несколькими неизвестными. Для этого потребуются матрицы Якоби. Нужно будет находить решения уравнений и систем, зависящие от параметров. Мы изучим методы интерполяции – как по значениям функции в дискретные моменты времени приближенно оценить ее значения в промежуточные моменты. Если эти значения известны с некоторой погрешностью (шумом), то к какой погрешности это приведет у проинтерполированной функции (иногда такие последствия бывают катастрофическими). Сплайны оказываются намного «устойчивее» к шумам, чем многочлены. Мы рассмотрим различные динамические системы, которые изменяются «по шагам», т.е. с дискретным временем. Размножение популяций с учетом специфики рождаемости и смертности для возрастов. Конечно-разностные уравнения позволяют производить оценки и расчеты. А заодно можно оценивать результаты случайных блужданий по сеткам и решеткам или вероятности выигрыша в игре с постоянной суммой. Помимо решения уравнений матанализ помогает находить экстремумы функций, в том числе и зависящих от многих переменных. Мы выясним, какие бывают «типичные» минимумы и максимумы, что значит «типичный», и насколько редко встречаются нетипичные. И как искать экстремум не среди всех значений параметров, а только среди тех, которые удовлетворяют дополнительным условиям – метод множителей Лагранжа весьма эффективен. А что можно сказать о функции, если известны ее несколько производных в одной точке? Ряд Тейлора иногда весьма хорош, но он имеет некоторые препятствия к сходимости в больших областях. А вот рациональные аппроксимации, придуманные Эрмитом и Паде в конце XIXв часто оказываются намного эффективнее, причем в самых неожиданных приложениях. Мы изучим общие свойства поверхностей и векторных полей, научимся вычислять циркуляцию, дивергенцию и т.п. Оказывается, что свойства векторных полей и дифференциальных форм на поверхностях или в областях могут быть удивительным образом связаны с топологией этих геометрических объектов.

2 семестр 2024/2025
Начала функционального анализа и оптимизация
Почти три тысячи лет назад принцесса из Тира, Дидона обманула царя максиев – купила землю, которая уместится в шкуре быка, а затем из этой шкуры сделали тонкий ремешок и обтянули заметный кусок берега, на котором потом построили Карфаген. Но, помимо исторических последствий содеянного, осталась задача: какую форму нужно придать ремешку заданной длины, чтобы окружить наибольшую площадь. Ответ: если берег моря ровный, то это полуокружность. Настолько большого радиуса, насколько позволит длина ремешка. А как это доказать? А если берег моря не ровный? А если качество (и продажная стоимость) земли не постоянны? Какая тогда должна быть форма области внутри ремешка? Во многих случаях оптимизацию проводит не человек, а сама природа. Тяжелая цепь заданной длины, подвешенная за концы, выбирает форму, минимизирующую потенциальную энергию, луч, идущий в оптически неоднородной среде из точки А в точку Б, минимизирует не пройденный путь, а потраченное на путь время (в неоднородной среде это не одно и то же). Отсюда следуют законы Снеллиуса преломления луча при переходе через границу сред. Из-за рефракции можно видеть миражи. И Солнце, спустя целую минуту после его фактического захода за линию горизонта. В курсе мы обсудим, когда разгонять поезд, а когда тормозить, чтобы прибыть на следующую станцию как можно быстрее. Или как наилучшим образом согласовать полученную из GPS и спидометра информацию о движении автомобиля. Ведь они не абсолютно согласованы между собой - каждый измерительный прибор имеет свою ошибку измерения. Таким образом, вместо минимума функций одного или нескольких переменных, о поисках которого шла речь в первом курсе майнора, здесь в качестве аргумента минимизируемого функционала рассматриваются, функции, кривые, стратегии, поверхности и т.п. бесконечномерные объекты. Во многих случаях такую проблему минимизации удается свести к решению краевой задачи для дифференциального уравнения или системы. Будут рассматриваться как аналитические методы решения, так и численные алгоритмы. Например, варианты метода градиентного спуска.

1 семестр 2025/2026
Математические модели и дифференциальные уравнения
Динамика огромного количества явлений описывается обыкновенными дифференциальными уравнениями и системами, линейными и нелинейными. Рост отдельного организма и размножение популяции при отсутствии ограничений на ресурс и его наличии, при наличии двух популяций: хищников и жертв или друг друга не трогающих, но конкурирующих за общий ресурс, модель экономического развития или модель развития эпидемии, модель воюющих орд, химическая кинетика, колебания различных маятников, с трением и без, резонансные явления. В курсе будут объясняться различные методы аналитического решения, анализироваться корректность задачи Коши, выясняться существование и единственность краевой задачи. Важные практические вопросы: существование стационарных и периодических решений и их устойчивость. Во многих случаях для ответа полезно использовать первые интегралы модели (типа сохраняющихся энергии или момента импульса системы). Для линейных уравнений и систем полезны метод Лагранжа (позволяющий по известным решениям однородной задачи строить решения неоднородной) и преобразование Лапласа (позволяющее свести решение дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами к алгебраическим преобразованиям. В тех случаях, когда аналитическое решение уравнения или системы невозможно, применяются численные методы. Для решения задачи Коши популярны методы Рунге – Кутты, которые будут в курсе отрабатываться на программистских семинарах. Император Наполеон ценил свое время и деньги. Но он пригласил в Тюильри Хладни. Тот насыпал на квадратную пластинку опилки, и стал по ее краю водить смычком. Опилки собирались вдоль определенных линий. «Он сделал видимым звук». Посмотреть можно тут: https://habr.com/ru/post/406637/ или тут: https://www.youtube.com/watch?v=ahkgm6yy_BU Наполеон смотрел и слушал ученого два часа и дал денег на публикацию. Был объявлен конкурс на математическую модель. Приз после нескольких не совсем удачных попыток получила Софи Жермен (заметен вклад комментариев Лагранжа). Для описания явления было получено уравнение в частных производных, и математика начала свою работу. Теперь эти уравнения применяют для расчетов вибраций в пластинах, лопастях турбин, крыльев самолетов и т.п. В курсе мы изучим, как распространяется тепло по сковородке, как волна на струне или мембране барабана отражается от границы, как вибрирует стержень после удара (поперечного или продольного) как бежит волна воды вдоль канала и импульс по нервному волокну, как вычислить справедливую цену на опционы и т.д. Мы покажем, как эти модели получаются из наблюдений и логическими построениями, и какие выводы, качественные и количественные, можно получить с помощью математического аппарата и применения компьютеров. Мы обсудим проблему корректности решения задачи Коши, – в каких случаях шумы в исходных данных могут при решении нарастать сколь угодно быстро со временем. Будет показано, как интегральные преобразования позволяют решать уравнения во всем пространстве, а разложения в ряды Фурье – в ограниченных областях. Выясним, чем важна правильная постановка граничных условий в краевой и смешанной задачах.

2 семестр 2025/2026
Прикладная линейная алгебра и численные методы
В курсе будут рассмотрены вопросы линейной алгебры и близких областей, важные для приложений и вычислительных методов, но обычно не затрагиваемые в стандартных курсах. В их числе понятие псевдообратной матрицы, интерполяция и аппроксимация функций, основы теории нормированных пространств, теория многочленов Чебышева, элементы теории возмущений, оценки на погрешности решений систем линейных уравнений и матричных вычислений, матричные итеративные методы, символьные решения систем алгебраических уравнений и др. Они служат основой работы с данными не только в естественно-научных расчетах, но и в экономических, технических и социальных задачах.