• A
  • A
  • A
  • АБВ
  • АБВ
  • АБВ
  • А
  • А
  • А
  • А
  • А
Обычная версия сайта

Графы и топология

Читается: 3-4 модуль 3 курса 
Пререквизиты: Основные понятия математики; Вычислимость и сложность; Логика
Трудоемкость: 5 кредитов

80 аудиторных часов:

  • 40 часов лекций;
  • 40 часов семинаров.

Формы контроля:

  • экзамен;
  • 1 контрольная работа;
  • 2 домашних задания.

 Преподаватели:

Васильев Виктор Анатольевич 
Базовая кафедра Математического института им. В.А. Стеклова РАН: профессор

О курсе:

Освоение геометрических и топологических концепций, используемых в естествознании и в математических моделях социальных процессов.

Объекты, которым посвящен курс, -- геометрической и топологической природы. Они универсальны и могут описывать совершенно разные объекты и явления реальной жизни. Графы используются в большинстве математических моделей, описывающих дискретные структуры с различными связями. Топология изучает наиболее принципиальные свойства реальных объектов, не зависящие от их описания в тех или иных координатах, и дает многочисленные выводы о существовании или несуществовании объектов или их подмножеств с заданными свойствами (как-то: о достижении экстремальных или предписанных значений функций и отображений, о неподвижных точках движений, о равновесных и стационарных решениях…)      


Содержание курса:

 

  1.   Определение графов, их типы, приложения и простейшие свойства. Примеры из практики. Таблицы смежности и таблицы инцидентности.
  2.   Связные графы. Порождающее дерево. Эйлеровы пути и гамильтоновы циклы. Мосты Кенигсберга.
  3.   Классификация, инварианты и перечисление графов.
  4.   Плоские графы, препятствия к планарности, инварианты пространственных графов.
  5.   Двудольные графы. Теорема Холла.
  6.   Большие и бесконечные графы, их асимптотические свойства. 
  7.   Метрические пространства: примеры и свойства. Гомеоморфизм. Теоремы об экстремальных и промежуточных значениях.
  8.   Фундаментальная группа, классификация двумерных поверхностей, гомологии. Эйлерова характеристика. 
  9.   Индекс зацепления замкнутых кривых.
  10. Теоремы о неподвижных точках. Теорема о причесывании ежа. Основная теорема алгебры.


Литература:

  1. Оре О. Теория графов. — 2-е изд. — М.: Наука, 1980.
  2. Виро О. Я., Иванов О. А., Харламов В. М., Нецветаев Н. Ю. Элементарная топология. — М: МЦНМО, 2007
  3. С.К.Ландо  Графы и топология  2018


Материалы курса:

Домашнее задание 1