Основания алгебры и геометрии

Страница курса

Читается: 1-2 модуль 2 курса
Пререквизиты: нет
Трудоемкость: 5 кредитов

64 аудиторных часов:

32 часов лекций;

32 часов семинаров.

Формы контроля:

экзамен;

1 контрольная работа;

10 домашних заданий.

Преподаватели

Кириченко Валентина Алексеевна

Факультет математики: доцент

О курсе

Цель курса:

Освоить ключевые математические концепции, используемые в современной математике и её многочисленных приложениях. Отталкиваясь от знакомых всем понятий школьной математики, таких как число, прямая, функция, мы получим их далеко идущие обобщения, такие как кольца, поля, векторные пространства, группы преобразований, операторы. Слушатели также узнают о целях, задачах и методах математики, от теории множеств и до начал алгебры, геометрии и анализа.

В курсе будут обсуждаться следующие темы:

Что такое число? Натуральные числа: аксиомы Пеано и метод математической индукции. Вещественные числа: сечения Дедекинда, последовательности Коши. Комплексные числа, кватернионы, октавы, p-адические числа. Обобщения: кольца, поля, алгебры.
Что такое планиметрия? Формальный метод Гильберта: системы аксиом евклидовой геометрии от Евклида до Гильберта и Колмогорова. Группы движений плоскости и пространства. Обобщения: аксиомы линейного пространства, линейные операторы, базисы, размерность, классические группы.
Что такое множество? Множества, функции и отображения. Комбинаторика: принцип Дирихле и бином Ньютона. Бинарные отношения, отношения эквивалентности и порядка. Счетные множества, несчетные множества. Диагональный метод Кантора и парадоксы наивной теории множеств.

Домашние задания и задачи семинаров:

Записки лекций (2-й модуль):

Лекции_до_30_11

Литература:

В.И. Арнольд, Гюйгенс и Барроу, Ньютон и Гук первые шаги математического анализа и теории катастроф,от эвольвент до квазикристаллов. М., Наука, 1989
Д. Гильберт, С. Кон-Фоссен, Наглядная геометрия. М.-Л., ОНТИ, 1936
Г. Гиндикин. Рассказы о физиках и математиках. М., МЦНМО, 2006
А.А. Кириллов. Что такое число? М., Физматлит, 1993
Р. Курант, Г. Роббинс Что такое математика? М., МЦНМО, 2013
А. Шень. О «математической строгости» и школьном курсе математики, М.: МЦНМО, 2006.

Дополнительное чтение

С.В.Фомин. Системы счисления, 5-е изд., М., Наука, 1987

И.В. Арнольд. Теоретическая арифметика, М., Учпедгиз, 1938

А. Шень. Математическая индукция, 3-е изд., М., МЦНМО, 2007

Г.Е. Шилов. Простая гамма (устройство музыкальной шкалы), Физматгиз, 1963

Д. Гильберт. Основания геометрии, Л., "Сеятель", 1923

Евклид. Начала, Санкт-Петербург, 1819

В.Ю. Протасов. Максимумы и минимумы в геометрии, Библиотека "Математическое просвещение", Выпуск 3, МЦНМО, 2005

Н.Я. Виленкин. Теория множеств, 4-е изд., М., МЦНМО, 2007

Майнор «Математические структуры»